گروههای ‏‎-n‎‏جمعی

جی. اچ. کوهن برای اولین بار در سال 1994 بطور رسمی مساله پوشش را مطرح کرد هر چند که قبل از آن نیز کارهایی به طور پراکنده و غیر مستقیم توسط بعضی از ریاضیدانان انجام گرفته بود. کوهن پوشش یک گروه را به صورت زیر تعریف می کند: یک پوشش برای گروه ‏‎g‎‏ خانواده ای از زیر گروههای سره ‏‎g‎‏ است که اجتماع آنها برابر گروه ‏‎g‎‏ است. پوششی که بین پوششهای گروه ‏‎g‎‏ از نظر تعداد زیر گروههای شرکت کننده در پوششهای کوچکترین باشد دارای اهمیت ویژه است و تعداد این زیر گروهها را با ‏‎(g)‎‏ نمایش می دهند. پس از طرح این مفهوم، متخصصین مربوطه مطالعات خود را در سه زمینه زیر گسترش دادند: اول اینکه شرایط خاصی روی گروهها اعمال کرده و ‏‎(g)‎‏ را محاسبه کنند. در بخش هایی از این پایان نامه ‏‎(g)‎‏ برای ‏‎-p‎‏گروهها و گروههای حلپذیرپوچتوان بررسی شده است. زمینه دوم بررسی وجود گروههای با ‏‎(g)‎‏ مفروض ‏‎ n‎‏است. به عنوان مثال از دیرباز می دانستند که هیچ گروهی را نمی توان به صورت اجتماع دو زیر گروه سره اش نوشت. پس از مطرح شدن مطلب اخیر در مدت کوتاهی ‏‎(g)‎‏ برای اعداد کمتر از 7 مطالعه شد ولی مساله برای ‏‎(g)=7‎‏ چند سالی بی جواب ماند. حدس این بود که ؛هیچ گروهی با ‏‎(g)=7‎‏ وجود ندارد؛. در سال 1997 اسن حدس توسط تامکینسون ثابت شد. برهان تامکینسون طولانی است و در آن از نتایج متعددی به عنوان پیشنیاز استفاده شده است. هسته اصلی این پایان نامه مطالعه مراحل این برهان است. که فصل پنجم پایان نامه را تشکیل می دهد. زمینه سوم اینکه یافتن پوشش برای گروههای خاص است. مانند گروههای ‏‎sn‎، ‏‎an‎‏، ‏‎gln (q)‎‏ و ‏‎sln (q)‎‏ و گروههایی که به صورت ‏‎a x b‎‏ می باشند که در آن ‏‎a‎‏ و ‏‎b‎‏ گروههایی شناخته شده هستند. در این پایان نامه ‏‎(sn)‎‏ و ‏‎(an)‎‏ برای ‏‎n<5‎‏ محاسبه شده است. محاسبه پوشش ‏‎s6‎‏ و ‏‎(f)‎‏ توسط نگارنده انجام گرفته است که ‏‎f‎‏ حالضرب نیم مستقیم ‏‎c3 x c3‎‏ و ‏‎c4‎‏ است. از مسائل جنبی یافتن کران پایین برای ‏‎(s6)‎‏ و ‏‎(a6)‎‏ است که گامهای اصلی در این میسر توسط کوهکن و تامکینسیون برداشته شده است. لازم به ذکر است که محاسبه ‏‎(g)‎‏ برای گروههای ‏‎gl2 (q)‎‏، ‏‎sl2 (q)‎‏، ‏‎pgl2 (q)‎‏ و ‏‎psl2 (q)‎‏ در سال 1999 میلادی توسط برایس، فدری و سرنا انجام گرفت. از آنجا که تعریف ‏‎(g)‎‏ از قدمت زیادی برخوردار نیست، تحقیقات در این زمینه در گامهای اولیه است. به عنوان مثال این مطلب که ‏‎(g)‎‏ برای هیچ گروهی 11، 13 و 17 نیست از حدسهای اثبات نشده هستند که مسیر مطالعه و تحقیق باز است.